linkedin facebook linkedin facebook nod32

Trubadagi suyuqliklarning laminar oqimi va o‘lchamsiz Reynolds soni

Muallif: Mengliyev Sh.

Qo`shilgan sana: 2018-08-16

Trubadagi suyuqliklarning laminar oqimi va o‘lchamsiz Reynolds soni

1. Kirish

Real suyuqliklarning harakati ko‘pgina hollarda laminar oqim harakatidan keskin farqlanadi. Ular shunday maxsus xususiyatga ega bo‘ladiki, u turbulentlik deb ataladi. Trubalar, kanallar va chegaraviy qatlamlardagi real suyuqlik oqimlarida Reynolds sonining ortib borishi bilan laminar formadagi oqimning turbulent oqimga aylanishi yaqqol kuzatiladi. Laminar oqimning turbulent oqimga bunday o‘tishini ba’zan turbulentlikning paydo bo‘lishi deb ham atashadi, u butun gidrodinamika sohasida fundamental ahamiyatga ega. Dastlab bunday o‘tish to‘g‘ri truba va kanallardagi oqimlarda kuzatilgan. O‘zgarmas ko‘ndalang kesimga ega bo‘lgan silliq devorli to‘g‘ri trubada Reynolds sonining unchalik katta bo‘lmagan qiymatlarida suyuqlikning har bir zarrachasi to‘g‘ri chiziqli traektoriya bo‘ylab harakatlanadi. Yopishqoqlik mavjud bo‘lganligi sababli, suyuqlikning devorga yaqin joylashgan zarrachalari devordan uzoqda joylashgan zarrachalarga nisbatan sekin harakatlana boshlaydi. Oqim tartiblangan holda bir-biriga nisbatan siljuvchi laminar oqim (qatlamlar) sifatida harakatlanadi. Ammo, kuzatishlar shuni ko‘rsatadiki, Reynolds sonining katta qiymatlarida oqim tartiblanmagan holatga o‘tadi, ya’ni turbulent oqimga aylanadi. Oqimda kuchli aralashish sodir bo‘ladi, buni trubadagi suyuqlikka bo‘yoqli oqim kiritish orqali ko‘rinarli tarzda ifodalash mumkin.

1883 yilda Osborn Reynolds, trubadagi suv harakatini kuzatishda aniqladiki, suv oqimi tezligining ortishi bilan harakatdagi oqimning turg’un laminar xarakteri buziladi. Qo’zg’alishlar paydo bo’ladi, ular shunda bilinadiki ilgari to’g’ri chiziq bo’ylab harakatlanayotgan suyuqlik zarrachalarining laminar harakati ayrim qismlarda betartib holatga o’tadi, hamda bunda harakatning umumiy yo’naltirilganligi saqlanib qoladi. Oqim tezligining yanada o’zgarishi butun oqim bo’ylab betartib harakat paydo bo’lishiga olib keladi. Ushbu holatni laminar oqim turg’unmas, qo’zg’atilgan-turbulent oqimga aylangan deb ataladi [2].

Suyuqliklarda yopishqoqlikning mavjudligi suyuqlik qatlamlarining bir-biriga nisbatan siljishiga qarshilik ko‘rsatadi. Boshqacha qilib aytganda, laminar (qatlamli) oqimlarda yopishqoqlik evaziga ichki ishqalanish paydo bo‘ladi, u qatlamlar chegaralaridagi urunma kuchlanishlar miqdori bilan ifodalanadi, ya’ni, birlik yuzaga to‘g‘ri keladigan urunma kuch miqdori bilan xarakterlanadi. Suyuqlikning ayrim konsentrik qatlamlari bir-biriga nisbatan shunday harakatlanadiki, bunda suyuqlik tezligi asosiy o‘q bo‘ylab yo‘nalgan bo‘ladi. Bunday turdagi suyuqlik harakati laminar oqim deyiladi [1-14].

Qisilmaydigan yopishqoq suyuqliklar harakatini aynan bitta oqim uchun Reynolds Re=(ρUL)/μ=UL/v ρ-zichlik (kg/m3, funt/fut3) U-asosiy oqimning maksimal tezligi (m/s, fut/s), L-uzunlikning xarakterli masshtabi (m, fut), μ-dinamik yopishqoqlik (N*s/m2, funt/s* fut), v=μ/ρ- kinematik yopishqoqlik (m2/s, fut2/s), sonining aynan bitta qiymatidan boshlab, laminar oqim turbulent oqimga aylanadi. Reynolds sonining ana shu qiymati kritik Reynolds soni deb ataladi.

1-rasm. Laminar oqimning turbulent oqimga o‘tishi.

1-rasmdan ko‘rinadiki, Re<Rekrtbo‘lganda oqim laminar, Rekrt<Re bo‘lganda esa oqim turbulent rejimga o‘tadi.

Barcha uzunligi bo‘yicha o‘zgarmas diametrli yumaloq trubani qaraylik. Yopishqoqlik evaziga truba devorlaridagi tezlik nolga teng, trubaning o‘rtasida tezlik o‘zining eng katta qiymatiga erishadi. Asosiy o‘qi truba o‘qi bilan mos tushuvchi silindrsimon sath nuqtalarida oqim tezligi o‘zgarmas bo‘ladi. Ayrim konsentrik qatlamlar o‘zaro shunday harakatlanadiki, tezlik hamma joyda o‘q bo‘yicha yo‘naltirilgan bo‘ladi. Bunday ko‘rinishdagi harakat laminar oqim deyiladi. Trubaning boshlang‘ich nuqtasidagi etarlicha uzoq masofada trubadagi oqimning tezlik taqsimoti radius bo‘ylab, uzunasida yo‘naltirilgan koordinatadan bog‘liq bo‘lmaydi.

2. Masalaning qo’yilishi

Silindrsimon trubadagi oqim uchun suyuqlikka ta’sir etuvchi kuchlar to’g’risidagi ma’lumot maqola [2] da keltirilgan.

Butun uzunligi bo’yicha o’zgarmas diametrli truba va truba ichiga joylashtirilgan uzunligi L ga va radiusi r ga teng bo’lgan n ta trubacha orqali oqib o’tadigan suyuqlik harakatini qaraylik. Real suyuqliklarda suyuqlik trubachalar devorlariga yopishadi va oqib o’tadigan sirt sathiga urinma kuchlanish beradi. Bu erda ichki ishqalanish deb ataluvchi kuch paydo bo’ladi, suyuqliklarda ushbu kuch yopishqoqlikdan iboratdir. Yopishqoqlik-bu gazlar va suyuqliklarning shunday hususiyatidan iboratki, u suyuqlikning harakatiga olib keluvchi tashqi kuchlar ta’siriga qarshilik ko’rsatishdan iborat. Urinma kuchlanishlarning mavjudligi va suyuqlikning qattiq devorlarga yopishishi harakatlanayotgan real suyuqliklarning ideal suyuqliklardan sifat jihatdan farqlanishiga olib keladi. Endi trubadagi suyuqlik harakatiga ta’sir etuvchi kuchlarni n ta trubachalarni e’tiborga olgan holda hisoblaymiz. Yopishqoqlik evaziga trubachalar devorlaridagi tezlik nolga teng, trubachalarning o’rtasida tezlik o’zining eng katta qiymatiga erishadi. Ayrim konstentrik qatlamlar o’zaro shunday harakatlanadiki, tezlik hamma joyda o’q bo’yicha yo’naltirilgan va oqim laminar rejimda bo’ladi. Trubachalarning boshlang’ich nuqtasidan etarlicha uzoq masofada trubachadagi oqimning tezlik taqsimoti radius bo’ylab, uzunasiga yo’naltirilgan koordinatadan bog’liq bo’lmaydi.

Trubachadagi suyuqlik harakati trubacha o’qi bo’ylab bosimning pasayishi ammo, har bir trubacha o’qiga perpendikulyar ko’ndalang kesimda bosimni o’zgarmas deb qarash mumkinligi evaziga sodir bo’ladi. Suyuqlikning har bir elementi harakati bosimning pasayishi evaziga tezlashadi va ishqalanish hisobidan paydo bo’ladigan siljish kuchlanishi sababli sekinlashadi [2-12].

Bosim p o’zgarmas deb qaraladi, ya’ni butun trubacha kesimi bo’yicha p0,pl =const deb faraz qilinadi [3].

Asosiy o‘q bo‘ylab silindrga bosim kuchlari p0nπ y2 va plnπ y2 ta’sir etadi, ular mos ravishda silindrning kirish va chiqish asoslariga mos keladi, hamda silindrning yon sirti bo‘yicha ta’sir etadigan urinma kuch 2πynLτ mavjud bo‘ladi. Ushbu silindrdagi oqimning maksimal tezligini, trubaning ko‘ndalang kesimi orqali oqib o‘tadigan suyuqlik hajmini, oqim uzunligi bo‘yicha trubaning ishqalanishga qarshilik koeffisientini hamda urinma kuchlanishning maksimal qiymatini aniqlash talab etiladi.

3. Masalaning echilishi

Trubachalardagi suyuqlikka ta’sir etuvchi kuchlarni tenglashtirib (2-rasm), harakat yo’nalishi bo’yicha muvozanat sharti sifatida ushbu tenglamani hosil qilamiz:

p0nπ y2=pln π y2+2π ynLτ (1)

2-rasm. Truba ichiga n ta trubachalar joylashtirilgan

Ichki ishqalanish kuchi proeksiyasi musbat ishora bilan olingan, chunki tezlik gradiyenti manfiy (qatlamning oqim tezligi radius y-ning ortib borishi bilan kamayadi). Bundan quyidagi tenglamani hosil qilamiz:

formula (1) dan τ ni aniqlab olamiz

τ =-y(p0-pl) /(2L) (2)

Qaralayotgan holda tezlik U koordinata y ning ortishi bilan kamayadi va u y=r bo‘lganda nolga aylanadi. Shu sababli Guk ishqalanish qonuniga asosan τ=-μdu/dy deb qabul qilish lozim. Ushbu ifodani (2) ga qo‘yib, quyidagiga ega bo‘lamiz:

-μdu/dy=y(p0-pl) /(2L)

bundan

du/dy=-y(p0-pl) /(2μL) (3)

Endi y=r bo‘lganda yopishqoqlik evaziga u(y)=0 boshlang‘ich shart bilan tenglama (3) ni integrallab ushbuni hosil qilamiz.

u(y)=-y2(p0-pl) /(4μL)+C (4)

Tenglama (4) dagi o’zgarmas konstanta C ni topish uchun y=r bo’lganda tezlik u(y)=0 bo’lish shartidan foydalanamiz, ya’ni

u(r)=-r2(p0-pl) /(4μL)+C

bundan

C=r2(p0-pl) /(4μL) (5)

ekanligini aniqlaymiz. O‘zgarmas C ning bu qiymatini (4) ga qo‘yib

u(y)=-y2(p0-pl) /(4μL)+r2(p0-pl) /(4μL)

tenglamani va bunda o‘znavbatida

u(y)=((r2-y2)(p0-pl))/(4μL)(6)

Shunday qilib, trubachalar radiusi bo‘ylab tezlikning parabolik taqsimotiga ega bo‘lamiz 3-rasm. Ushbu tezlik o‘zining eng katta qiymatiga trubaning o‘rtasida (y=0) erishadi va u quyidagi maksimal qiymatga ega bo‘ladi:

umax=(p0-pl)r2/(4μL) (7)

3-rasm.Bitta trubacha uchun oqim harakati

Trubacha kesimi bo‘ylab oqib o‘tadigan to‘liq suyuqlik miqdori Q (suyuqlik sarfi) aylanma paraboloid hajmi sifatida aniqlanadi (3-rasm.) va o‘z navbatida quyidagicha aniqlanadi.

Tenglama (6) quyidagi formulaga ega bo’lamiz:

u(y)=-y2(p0-pl) /(4μL)+r2(p0-pl) /(4μL)

bundan

u(y)=umax(1-y2/r2) (8)

Doiraviy kesimga ega bo’lgan trubacha orqali o’tadigan suyuqlikning umumiy oqimi uchun Gagen-Puazeyl formulasi[1,3,7,8,11,12] dan foydalanib, quyidagini aniqlaymiz:

bundan

Q=π(p0-pl)r4/(8μL) (9)

Trubachaning ko‘ndalang kesimi bo‘yicha qiymati quyidagicha aniqlanadigan oqimning o‘rtacha tezligini kiritamiz:

u=Q/(πr2) (10)

Formula (9) ni e’tiborga olgan holda (10) ni quyidagicha yozamiz

u=(p0-pl)r2/(8μL)

Funksiya u(y) ni umax bilan taqqoslab, u(y)=(1/2)umaxekanligini ko‘rish mumkin, ya’ni trubachadagi laminar oqim harakatida o‘rtacha tezlik maksimal tezlikning yarmiga teng (3-rasm).

Bosim farqi (p0-pl) ni aniqlaymiz

(p0-pl)=(8μLu)/r2

bundan

(p0-pl)=(32μLu)/(2r*2r)=((32μu)/(D))*(L/D) (11)

Bu erda D=2r trubacha diametri.

Oqim uzunligi bo’ylab yo’qotilgan bosim Darsi-Veysbax tenglamasi orqali topiladi[4]. Endi N-ta trubachalar uchun quyidagi formulani hosil qilamiz:

p0-pl=n(λn/2)ρu(L/D) (12)

bundan

Formula (11) dan p0-pl ning qiymatini (12) ga qo’yish natijasida quyidagi formulaga ega bo’lamiz

λn=64/nRe (13)

ekanligini ko’rish mumkin, bu erda n- trubachalar soni, trubachalar soni ortishi bilan qarshilik koeffistienti kamayadi.

Formula (12) dan quyidagi munosabat bilan aniqlanadigan o’lchamsiz qarshilik koeffistienti λn ni kiritamiz.

(p0-pl)/L=n(λn/2)ρu(1/D) (14)

Formula (2) ga asosan urinma kuchlanish o’zining eng katta qiymatiga trubachalar devorida erishadi, bu erda ushbu kuchlanish quyidagiga teng bo’ladi.

τ0=(p0-pl /L)(r/2) (15)

hamda ushbu formula oqim qanday rejimda bo’lishidan qat’iy nazar (laminar yoki turbulent) o’rinli bo’ladi. Shunday qilib, truba devoridagi urinma kuchlanish bosimning pasayishini o’lchash yo’li bilan eksperimental aniqlanishi mumkin.

Formula (14) dan p0-pl /L ning qiymatini (15) ga qo’yish natijasida quyidagi formulaga ega bo’lamiz

τ0=(nλnρu2)/8

Bu trubachalardagi urinma kuchlanishning maksimal qiymatini hisoblash formulasidan iborat.

4. Natijalar tahlili

Yuqorida (13), formula asosida olingan natijalarni keltiramiz (3-rasm).

4-rasm. Silliq trubada qarshilik koeffistientining trubachalar soni n ga va Re ga bog’liqligi: 1) n=200, 2) n=300, 3) n=400, 4) n=500.

3-rasmda silliq n ta trubachalar uchun trubaning qarshilik koeffistienti λn ning Re Reynolds soniga bog’liqligini ko’rsatuvchi hisoblash natijalari keltirilgan. Olingan natijalarni taqqoslash shuni ko’rsatadiki, Re sonining barcha qiymatlarida nazariy formula (14) o’rinli bo’ladi. Re sonining yanada katta qiymatlarida turbulentlik mexanizmlarining faol ishga tushishi evaziga, qarshilik kamayadi.Hisoblash ekperimentida xarakterli parametrlar Reynolds soni Re va qarshilik koeffistentining λn quyidagi ko’lamlardagi o’zgarishlar tadqiq etilgan: Re=500 dan 5000, λn=0.0001 dan 0.0007. Rasmdan ko’rinadiki, trubachalar soni ortishi bilan qarshilik koeffistienti kamayadi.

Kritik Reynolds sonining yuqorida keltirilgan ko’lami, tekis kanaldagi Puazeyl oqimi uchun olingan kritik Reynolds soni Re=5770 bilan mutanosib ekanligini ko’rish mumkin [5,17-24].

5. Xulosa

Shunday qilib, kanallar, trubalar va chegaraviy qatlamlardagi qisilmaydigan yopishqoq suyuqliklar harakati laminar va turbulent rejimda bo’lishi, hamda ushbu rejimlarning paydo bo’lishining fizik mohiyati ko’rsatilgan. Ushbu jarayon O. Reynolds tomonidan tavsiya etilgan harakatlanayotgan suyuqlikka rang kiritish tajribasi orqali namoyish etilgan.

Truba ichiga joylashtirilgan n ta trubachalar orqali oqib o’tadigan suyuqlik oqimining maksimal tezligi, trubaning ko’ndalang kesimi orqali oqib o’tadigan suyuqlik miqdori hajmi, oqim uzunligi bo’yicha trubaning ishqalanishga qarshilik koeffistientini hisoblash formulalari chiqarilgan.

Trubachalarning qarshilik koeffistientini hisoblash natijalari keltirilgan hamda Reynolds soni va qarshilik koeffistentining ma’lum chegaradagi o’zgarish ko’lamida ularning bog’liqligi tadqiq etilgan. Hisoblash natijalari ko’rsatadiki trubachalar soni ortishi bilan qarshilik koeffistienti kamayadi.

Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati

1.Reynolds O. On the experimental investigation of the circumstances which determine whether the motion of water shall be direct or sinuous, and the law of resistance in parallel channels Phil. Trans.roy.soc. 1883. № 174. P. 935-982.
2.Нармурадов Ч.Б., Менглиев Ш.А. Трубадаги суюқликлар ҳаракатини математик моделлаштириш Ҳисоблаш ва математика муаммолари, 2018. №. 2. Б. 36-47.
3.Гордин В.А. Дифференциальные и разностные уравнения Изд.М.:«Высшая школа экономики», 2016. 517 с.
4.Горшков-Кантакузен В.А. К вопросу вычисления коэффициента Дарси методом регрессионного анализа Материалы XXI Международного симпозиума "Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред" имени А.Г. Горшкова, 16-20 февраля 2015, Вятичи. Том 1./МАИ.:ООО "ТРП",2015. С. 59-60.
5.Абуталиев Ф.Б., Нармурадов Ч.Б. Математическое моделирование проблемы гидродинамической устойчивости Изд.Т.:«Fan va texnologiya», 2011. 188 с.
6.Кочен Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В.Теоретическая гидромеханика М: Физматлиз, 1963. 728 с.
7.Лойцянский Л.Г. Ламинарный пограничный слой М: Физматлиз, 1962. 479 с.
8.Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. 571 с.
9.Гольдштик М.А., Штерн В.Н. Гидродинамической устойчивость и турбулентность. Hовосибирск: Наука, Сиб. Отд-ние, 1977. 366 с.
10. Дразин Ф. Введение в теорию гидродинамической устойчивости. М.:Физматлит, 2005. 88 с.
11.Thomas H.H. The stability of plane Poiseuille flow. Phys.rev., 1953. №. 4(91). P. 780-783.
12.Patera А.Т. A spectral element method for fluid dynamics: laminar flow in a channel expansion.Comp. Phys., 1984. Vol.54. P. 468--488.
13.Бахвалов К.С. К оптимизации методов решения краевых задач при наличии пограничного слоя. вычисл. матем. и матем. физ. 1969. №. 4(9). С. 841-854.
14.Loer St. Examination of the stability of disturbed boundary-layer flow by a numerical method Phys fluids., 1969. №. 12(12). P. 139-143.
15.Brown W. B. A stability criterion for there-dimensional laminar boundary layers In: Boundary layer and flow control. London, 1961. vol.2. – P. 913-923.
16.Гольдштик М.А., Сапожников В.А. Устойчивость ламинарного потока в присутствии массовых сил. РАН. Сер. Механика жидкости и газа. М.:Издательство, 1968. №. 5. С. 42-46.
17.Нармурадов Ч.Б., Соловьев А.С. О влиянии взвешенных частиц на устойчивость плоского течения Пуазейля. РАН. Сер. Механика жидкости и газа.}, М.: Издательство, 1986. №. 1. С. 46-50.
18.Нармурадов Ч.Б., Соловьев А.С. Устойчивость двухфазного потока газ – твердые частицы в пограничном слое. РАН. Сер. Механика жидкости и газа.}, М.:Издательство, 1987. №.2. С.60-64.
19.Нармурадов Ч.Б., Чулиев Э.А., Хужаёров Б.Х. Устойчивость пограничного слоя двухфазных потоков с учетом сил Стокса и Архимеда Проблемы механики, Ташкент, 1998. №. 4. С. 13-17.
20.Нармурадов Ч.Б., Подгаев А.Г. Сходимость спектрально–сеточного метода Узбекский математический журнал, Ташкент, 2003. №. 2. С. 64-71.
21.Нармурадов Ч.Б. Об эффективном методе решения задачи гидродинамической устойчивости для двухфазных потоков Докл. АН РУз., Ташкент, 2004. №. 1. С. 19-26.
22.Нармурадов Ч.Б. Об одном эффективном методе решения уравнения Орра-Зоммерфельда Математическое моделирование. Москва, 2005. №. 9(17). С. 35-42.
23.НармурадовЧ.Б. Спектр собственных значений для двухфазного течения Пуазейля и пространственная зависимость характерных параметров Техника и технология. Москва, 2007. №. 5(23). С. 55-57.
24.Нармурадов Ч.Б. Математическое моделирование гидродинамических задач для двухфазных плоскопараллельных течений Математическое моделирование. Москва, 2007. №. 6(19). С. 53-60.

1354 marta o`qildi.

Parol:
Eslab qolish.


Ro`yhatdan o`tish

testing

+998915878681

Siz o`z maxsulotingizni 3D reklama ko`rinishda bo`lishini xohlaysizmi? Unda xamkorlik qilamiz.

3D Reklama


Рейтинг@Mail.ru
Рейтинг@Mail.ru

Besucherzahler
счетчик посещений